Problema de crédito e intereses.

Problema: Pamela quiere obtener un préstamo de S/10000 para modelar su casa. Se le ofrecen tres crediticias que son:

1. Presto fácil, un interés del 12% semestral y un tiempo de 6 años.
2. Pago al toque, un interés del 5.5% trimestral y un tiempo de 7 años.
3. Deuda cero, un interés del 1.85% mensual y un tiempo de 78 meses.

Para resolver este problema buscaremos el interés compuesto que se debe pagar a cada institución. Usaremos la siguiente formula: 

i = C·[(1 + i)^(n) - 1] 

Donde:

• i = interés
• C = capital pedido
• n = periodo de tiempo basado en el tipo de interés  

Procedemos a calcular el interés para cada empresa: 

1) Presto fácil: el interés es 12% semestral por ende debemos colocar el periodo de tiempo en semestre.

i = (10000)·[(1 + 0.12)^(12) - 1] 

i = (10000)·(2.89)

i = S/28959.75

2) Pago al toque: el interés es del 5.5% trimestral por ende debemos colocar el periodo de tiempo en trimestre.

i = (10000)·[(1 + 0.0055)^(28) - 1] 

i = (10000)·(3.47)

i = S/34778.43

3)Deuda cero: en interés es del 1.85% mensual por ende debemos colocar el periodo de tiempo en meses.

i = (10000)·[(1 + 0.018)^(78) - 1] 

i = (10000)·(3.02)

i = S/30209.31

Finalmente, la mejor opción es elegir las condiciones de préstamo de Presto fácil, esto es debido a que con esta institución pagaremos menos interés.

Créditos:

• Este problema fue sacado de la página de Facebook: Brainlat.

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Variables directamente proporcionales e inversamente propoporcionales.

Problema: Analiza los datos presentados en la tabla, calcula el cociente constante y el producto constante y determine si son cantidades inversamente proporcionales o directamente proporcionales. 

Para resolver este problema debemos seguir los siguientes pasos:

1. Identificar si los datos son inversa o directamente proporcionales.
2. Si los datos son directamente proporcionales entonces se calcula el cociente constante.
3. Si los datos son inversamente proporcionales entonces se calcula el producto constante.

Seguimos el procedimiento descrito: 

1) Observando los datos podemos observar que son inversamente proporcionales. Esto se sabe porque mientras los valores -x- aumentan los valores de -y- disminuyen, es decir, el comportamiento es inverso.

2) Como los datos son inversamente proporcionales debemos calcular el producto constante, se usa la siguiente ecuación: 

y = k/x ; Ecuación para variables inversamente proporcionales 

Procedemos a calcular la constante, elegimos cualquier par ordenado:

k = y·x 

k = (24)·(1) 

k = 24 

Por tanto, el producto constante viene siendo 24. 

Si quieres aprender más sobre la relación entre magnitudes te dejo este enlace: 

• https://300mots.blogspot.com/2019/08/magnitudes-correlacionadas.html

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Problema: recta tangente y elipse.

Determine el valor de -p- de modo que la recta y = x +p  sea tangente a la elipse x²+2y² = 6.

Inicialmente tenemos dos funciones:

• y = x + p ; ecuación de la recta
• x²+2y² = 6 ; ecuación de la elipse

Para resolver este problema vamos aplicar dos condiciones: 

1. Igualar la derivada de cada función, ya que la derivada representa la tangencia.
2. Igualar las funciones, esto porque ambas tienen un punto en común.

Procedemos a calcular las derivadas:

y = x + p;
y' = 1

Para el elipse, por comodidad, despejamos la variable -y- y luego derivamos:

x²+2y² = 6
x²+2y² = 6
2y² = 6 -x²
y² = 3 - x²/2
y = √(3 - x²/2)

Derivamos:

y = (3-x²/2)¹/²
y' = (1/2)·(3-x²/2)⁻¹/²·(-x)
y' = (-x/2)/√(3 - x²/2)


Procedemos a igualar las pendientes:

• (-x/2)/√(3 - x²/2) = 1  .......... ecuación 1

Como las funciones son tangentes aplicamos la segunda condición:

• √(3 - x²/2) = x + p ............. ecuación 2

Lo que haremos será resolver este sistema, para ello despejaremos a -x- de la ecuación 1:


(-x/2)/√(3 - x²/2) = 1
-x/2 = √(3 - x²/2)
x²/4 = 3 - x²/2
x²/2 + x²/4 = 3
3x²/4 = 3
x = √4
x = ±2 , tenemos dos soluciones


Veamos que tenemos dos soluciones, para saber cuál condición en verdad nos da la recta tangente debemos sustituir las soluciones en la derivada de la elipse y ver si cumplen la igualdad:


(-x/2)/√(3 - x²/2) = 1
(-2/2)/√(3 - (2)²/2) = 1
-1/1 = 1
-1 ≠ 1 ; por tanto x = +2 no cumple la igualdad

(-(-2)/2)/√(3 - x²/2) = 1
(2/2)/√(3 - (-2)²/2) = 1
1/1 = 1
1 ≠ 1 ; por tanto x = -2 si cumple la igualdad

Finalmente, procedemos a buscar el valor de -p- con el valor que cumple la igualdad:

p = √(3 - x²/2) - x
p = √(3 - (-2)²/2) - (-2)
p = 3 ; siendo este el valor necesario para que exista tangencia


Se debe cumplir que p = ±3 para que y = x + p sea tangente a la elipse x²+2y² = 6. 

Las rectas tangentes serían:

• y = x + 3 
• y = x - 3

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Problema: ángulos internos y externos de una circunferencia.

Del gráfico, calcula -x- si A, B, C y D son puntos de tangencia.

Para resolver el problema a continuación debemos plantear formulas asociadas al ángulo interno y ángulo externo de una circunferencia.


Si tenemos lo siguiente (ángulo externo):

Entonces podemos afirmar que:

∝ + AB = 180º 


Si tenemos lo siguiente (ángulo interno):

Entonces podemos afirmar que:

∝ = (AC + ED)/2


Para resolver nuestro problema usaremos estas definiciones.

1) Aplicamos definición de ángulo externo:

60º + CD = 180º ; CD = 120º 
70º + BA = 180º; BA = 110º 

2) Aplicamos definición de ángulo interno:

x = (CD + BA)/2
x = (120º + 110º) /2
x = 230º/2
x = 115º 

Por tanto, podemos afirmar que el ángulo -x- tiene un valor de 115º. Opción E.


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