Inicialmente tenemos dos funciones:
- y = x + p ; ecuación de la recta
- x²+2y² = 6 ; ecuación de la elipse
Para resolver este problema vamos aplicar dos condiciones:
- Igualar la derivada de cada función, ya que la derivada representa la tangencia.
- Igualar las funciones, esto porque ambas tienen un punto en común.
Procedemos a calcular las derivadas:
y = x + p;
y' = 1
Para el elipse, por comodidad, despejamos la variable -y- y luego derivamos:
x²+2y² = 6
x²+2y² = 6
2y² = 6 -x²
y² = 3 - x²/2
y = √(3 - x²/2)
Derivamos:
y = (3-x²/2)¹/²
y' = (1/2)·(3-x²/2)⁻¹/²·(-x)
y' = (-x/2)/√(3 - x²/2)
Procedemos a igualar las pendientes:
Como las funciones son tangentes aplicamos la segunda condición:
Lo que haremos será resolver este sistema, para ello despejaremos a -x- de la ecuación 1:
(-x/2)/√(3 - x²/2) = 1
-x/2 = √(3 - x²/2)
x²/4 = 3 - x²/2
x²/2 + x²/4 = 3
3x²/4 = 3
x = √4
x = ±2 , tenemos dos soluciones
Veamos que tenemos dos soluciones, para saber cuál condición en verdad nos da la recta tangente debemos sustituir las soluciones en la derivada de la elipse y ver si cumplen la igualdad:
(-x/2)/√(3 - x²/2) = 1
(-2/2)/√(3 - (2)²/2) = 1
-1/1 = 1
-1 ≠ 1 ; por tanto x = +2 no cumple la igualdad
(-(-2)/2)/√(3 - x²/2) = 1
(2/2)/√(3 - (-2)²/2) = 1
1/1 = 1
1 ≠ 1 ; por tanto x = -2 si cumple la igualdad
Finalmente, procedemos a buscar el valor de -p- con el valor que cumple la igualdad:
p = √(3 - x²/2) - x
p = √(3 - (-2)²/2) - (-2)
p = 3 ; siendo este el valor necesario para que exista tangencia
Se debe cumplir que p = ±3 para que y = x + p sea tangente a la elipse x²+2y² = 6.
y = x + p;
y' = 1
Para el elipse, por comodidad, despejamos la variable -y- y luego derivamos:
x²+2y² = 6
x²+2y² = 6
2y² = 6 -x²
y² = 3 - x²/2
y = √(3 - x²/2)
Derivamos:
y = (3-x²/2)¹/²
y' = (1/2)·(3-x²/2)⁻¹/²·(-x)
y' = (-x/2)/√(3 - x²/2)
Procedemos a igualar las pendientes:
- (-x/2)/√(3 - x²/2) = 1 .......... ecuación 1
Como las funciones son tangentes aplicamos la segunda condición:
- √(3 - x²/2) = x + p ............. ecuación 2
Lo que haremos será resolver este sistema, para ello despejaremos a -x- de la ecuación 1:
(-x/2)/√(3 - x²/2) = 1
-x/2 = √(3 - x²/2)
x²/4 = 3 - x²/2
x²/2 + x²/4 = 3
3x²/4 = 3
x = √4
x = ±2 , tenemos dos soluciones
Veamos que tenemos dos soluciones, para saber cuál condición en verdad nos da la recta tangente debemos sustituir las soluciones en la derivada de la elipse y ver si cumplen la igualdad:
(-x/2)/√(3 - x²/2) = 1
(-2/2)/√(3 - (2)²/2) = 1
-1/1 = 1
-1 ≠ 1 ; por tanto x = +2 no cumple la igualdad
(-(-2)/2)/√(3 - x²/2) = 1
(2/2)/√(3 - (-2)²/2) = 1
1/1 = 1
1 ≠ 1 ; por tanto x = -2 si cumple la igualdad
Finalmente, procedemos a buscar el valor de -p- con el valor que cumple la igualdad:
p = √(3 - x²/2) - x
p = √(3 - (-2)²/2) - (-2)
p = 3 ; siendo este el valor necesario para que exista tangencia
Se debe cumplir que p = ±3 para que y = x + p sea tangente a la elipse x²+2y² = 6.
Las rectas tangentes serían:
- y = x + 3
- y = x - 3
Créditos:
- Este problema fue sacado de la página de Facebook: Brainlat.
En caso de usar esta resolución para otras páginas es fundamental indicar el enlace de este blog.
0 comentarios:
Publicar un comentario